Tổng cấp số nhân

Công thức tính tổng của cấp số nhân:

Ứng dụng của tổng cấp số nhân trong toán học và thực tế:

Tổng của cấp số nhân có rất nhiều ứng dụng trong cả toán học lý thuyết lẫn các lĩnh vực đời sống. Trong toán học, nó thường được dùng để tính nhanh các chuỗi nhân có quy luật, ví dụ như khi giải các bài toán về dãy hình học, bài toán lũy thừa hoặc giới hạn. Đây là nền tảng cho nhiều công thức nâng cao trong đại số và giải tích, đặc biệt là khi xét các dãy vô hạn có công bội nhỏ hơn 1 để tìm giới hạn.
Trong thực tế, tổng của cấp số nhân xuất hiện rõ ràng trong các mô hình tăng trưởng theo tỷ lệ. Một ví dụ quen thuộc là lãi suất kép trong tài chính, nơi số tiền gốc được nhân lên sau mỗi kỳ, và tổng giá trị sau nhiều kỳ chính là tổng của một cấp số nhân. Tương tự, sự tăng dân số, phát triển vi sinh vật, hay lan truyền của virus đều có thể được mô tả bằng quy luật nhân liên tiếp, vì mỗi giai đoạn kết quả mới lại phụ thuộc theo tỉ lệ với kết quả cũ.

Ngoài ra, tổng của cấp số nhân còn được ứng dụng trong khoa học máy tính (tính toán các thuật toán nhân lũy thừa), vật lý (phân rã phóng xạ, phản ứng dây chuyền hạt nhân), và kỹ thuật (tính công suất khuếch đại trong hệ thống điện tử). Nhờ hiểu rõ bản chất của tổng của cấp số nhân, ta có thể dự đoán chính xác tốc độ tăng trưởng, mô hình hóa nhiều hiện tượng phức tạp, và áp dụng hiệu quả vào thực tế đời sống.

Các bài toán thực tế tính tổng cấp số nhân:

Bài 1. Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm, lãi nhập gốc hằng năm. Tính tổng số tiền người đó nhận được sau 5 năm.
Bài 2. Một bóng đèn phát sáng với cường độ ban đầu 100 đơn vị và giảm dần theo cấp số nhân với công bội 0,9 sau mỗi giờ. Tính tổng cường độ sáng mà bóng đèn phát ra trong 10 giờ đầu tiên.
Bài 3. Một công ty mỗi năm tăng doanh thu 8% so với năm trước. Biết năm đầu doanh thu là 500 triệu đồng, hãy tính tổng doanh thu trong 6 năm đầu hoạt động.
Bài 4. Một vật được thả rơi từ độ cao 10 m, mỗi lần chạm đất nảy lên bằng 0,8 lần độ cao trước. Tính tổng quãng đường vật đi được cho đến khi ngừng nảy.
Bài 5. Một người tiết kiệm mỗi tháng gửi thêm 2 triệu đồng vào tài khoản, tài khoản có lãi suất 0,5%/tháng, tính tổng số tiền người đó có được sau 12 tháng.
Bài 6. Trong phòng thí nghiệm, số vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 3 giờ. Ban đầu có 500 con. Hỏi tổng số vi khuẩn được sinh ra trong 24 giờ.
Bài 7. Một người vay 20 triệu đồng, lãi suất 10%/năm, trả góp mỗi năm 5 triệu đồng (lãi tính theo dư nợ còn lại). Tính tổng số tiền người đó phải trả sau 4 năm.
Bài 8. Một tấm gương phản chiếu ánh sáng giảm dần theo cấp số nhân, cường độ phản xạ sau mỗi lần giảm bằng 0,7 lần trước đó. Tính tổng lượng ánh sáng phản xạ sau 8 lần.
Bài 9. Một cây mọc cao thêm 20% mỗi năm. Sau 7 năm, tổng chiều cao cộng dồn của các năm là bao nhiêu nếu năm đầu cao 1,5 m?
Bài 10. Một công ty sản xuất mỗi quý tăng sản lượng thêm 12% so với quý trước. Quý đầu sản xuất 2000 sản phẩm. Tính tổng số sản phẩm trong 8 quý đầu tiên.

Những sai lầm thường gặp khi tính tổng cấp số nhân:

Khi học và làm bài liên quan đến tổng của cấp số nhân, học sinh thường gặp nhiều lỗi nhỏ khiến kết quả sai lệch hoặc mất điểm trong bài thi. Dưới đây là những lỗi phổ biến nhất:

Nhầm công thức giữa tổng hữu hạn và tổng vô hạn

Có hai công thức khác nhau:
Tổng hữu hạn: S = a * (q^n – 1) / (q – 1)
Tổng vô hạn (chỉ khi |q| < 1): S = a / (1 – q)
Nhiều bạn dùng nhầm giữa hai loại này dẫn đến sai kết quả.

Không xác định rõ số hạng đầu tiên (a)

Trong bài toán thực tế, “a” là giá trị ban đầu. Nếu hiểu nhầm và lấy giá trị ở giữa dãy làm “a”, kết quả sẽ sai toàn bộ.

Nhầm công bội q

“Tăng 10%” nghĩa là q = 1.1 chứ không phải q = 0.1. Còn “giảm 10%” thì q = 0.9. Đây là lỗi rất hay gặp trong bài toán lãi suất hoặc tăng trưởng.

Không thống nhất đơn vị thời gian

Khi bài toán cho lãi suất theo năm nhưng lại tính theo tháng (hoặc ngược lại) mà không quy đổi, kết quả sẽ không đúng.

Nhầm số mũ n trong công thức

Một số bạn quên rằng nếu có n số hạng, thì phải dùng q^n trong công thức. Ví dụ: có 5 năm => n = 5, không phải n = 4.
Bỏ qua dấu khi q < 1
Khi công bội nhỏ hơn 1, cần chú ý dấu trừ trong biểu thức (q – 1). Nếu không, giá trị tổng sẽ sai dấu.

Không nhận ra dạng bài là tổng của cấp số nhân

Các bài như lãi kép, phản xạ ánh sáng, dân số tăng trưởng… đều thuộc loại tổng của cấp số nhân, nhưng nhiều học sinh lại áp dụng sai công thức tổng cấp số cộng.

Làm tròn sai ở các bước trung gian

Việc làm tròn q^n quá sớm khiến kết quả cuối cùng sai lệch, đặc biệt trong các bài có nhiều kỳ nhân.

Không kiểm tra điều kiện hội tụ khi tính tổng vô hạn

Tổng vô hạn chỉ xác định khi |q| < 1. Nếu q ≥ 1 mà vẫn áp dụng công thức S = a / (1 – q) thì kết quả vô nghĩa.

Thiếu phần diễn giải kết quả thực tế

Với bài toán ứng dụng, sau khi tính ra kết quả cần nêu rõ ý nghĩa: “Tổng số tiền sau 5 năm là 13,38 triệu đồng”. Việc bỏ qua phần này khiến bài làm thiếu hoàn chỉnh.
=> Nắm vững bản chất và xác định đúng loại cấp số nhân sẽ giúp tránh hầu hết các sai lầm trên khi giải bài về tổng của cấp số nhân trong chương trình THPT.